ピタゴラス の 定理 証明。 三平方の定理の証明① 正方形の面積を使う方法

「ピタゴラスの定理」の証明アニメ6(ユークリッド)

ピタゴラス の 定理 証明

視覚的証明 における ピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、: Pythagorean theorem)は、の3の長さの関係を表す。 三平方の定理(さんへいほうのていり)、 勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。 ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。 例えば、において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる。 このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。 この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間のを測ることができる。 このようにして導入される距離はと呼ばれる。 「がのタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスがしたかどうかは分からない。 のや などでもについては知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。 中国古代の数学書『』や『』でもこの定理が取り上げられている。 中国ではこの定理を 勾股定理、 商高定理等と呼び、日本のでも中国での名称を用いて 鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ。 三平方の定理という名称は、が禁じられていた中にの図書監修官であったの依頼を受けて、数学者が命名したものである [ ]。 特に、 a, b, c がであるピタゴラス数 a, b, c を 原始的 primitive あるいは 素 coprime であるといい、そのようなピタゴラス数は 原始ピタゴラス数 primitive Pythagorean triple などと呼ばれる。 全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数 a, b, c の正の整数倍 da, db, dc により得られる。 ピタゴラス数 a, b, c が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることがである。 原始ピタゴラス数の具体例は a, b, c が100未満で、 a n• 上記の m, n は無数に存在するので、原始ピタゴラス数は無数に存在する。 これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく見つけ出すことができる。 原始ピタゴラス数の一覧表 m n a b c 1 2 1 3 4 5 2 3 2 5 12 13 3 4 3 7 24 25 4 4 1 8 15 17 5 5 4 9 40 41 6 6 5 11 60 61 7 6 1 12 35 37 8 7 6 13 84 85 9 8 7 15 112 113 10 8 1 16 63 65 11 9 8 17 144 145 12 10 9 19 180 181 13 5 2 20 21 29 14 10 1 20 99 101 15 11 10 21 220 221 16 12 11 23 264 265 17 12 1 24 143 145 18 13 12 25 312 313 19 14 13 27 364 365 20 7 2 28 45 53 21 14 1 28 195 197 22 15 14 29 420 421 23 16 15 31 480 481 24 16 1 32 255 257 25 7 4 33 56 65 m n a b c 26 17 16 33 544 545 27 18 17 35 612 613 28 9 2 36 77 85 29 18 1 36 323 325 30 19 18 37 684 685 31 8 5 39 80 89 32 20 19 39 760 761 33 20 1 40 399 401 34 21 20 41 840 841 35 22 21 43 924 925 36 11 2 44 117 125 37 22 1 44 483 485 38 23 22 45 1012 1013 39 24 23 47 1104 1105 40 8 3 48 55 73 41 24 1 48 575 577 42 25 24 49 1200 1201 43 10 7 51 140 149 44 26 25 51 1300 1301 45 13 2 52 165 173 46 26 1 52 675 677 47 27 26 53 1404 1405 48 28 27 55 1512 1513 49 28 1 56 783 785 50 11 8 57 176 185 m n a b c 51 29 28 57 1624 1625 52 30 29 59 1740 1741 53 10 3 60 91 109 54 15 2 60 221 229 55 30 1 60 899 901 56 31 30 61 1860 1861 57 32 31 63 1984 1985 58 32 1 64 1023 1025 59 9 4 65 72 97 60 33 32 65 2112 2113 61 34 33 67 2244 2245 62 17 2 68 285 293 63 34 1 68 1155 1157 64 13 10 69 260 269 65 35 34 69 2380 2381 66 36 35 71 2520 2521 67 36 1 72 1295 1297 68 37 36 73 2664 2665 69 14 11 75 308 317 70 38 37 75 2812 2813 71 19 2 76 357 365 72 38 1 76 1443 1445 73 39 38 77 2964 2965 74 40 39 79 3120 3121 75 40 1 80 1599 1601 原始ピタゴラス数 a, b, c について、次のような性質も成り立つ。 a または b は 4 の倍数• a または b は 3 の倍数• Jesmanowicz 予想 [ ] 1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。 a, b, c を原始ピタゴラス数、 n を自然数とする。 特別なピタゴラス数 [ ]• 直角を作る a , b の長さが連続するピタゴラス数は 3, 4, 5 , 20, 21, 29 , 119, 120, 169 , … の数列 である。 この問題はフランスの数学者が出題し、解も発見した。 この問題はフランスの数学者が出題し、解も発見した。 これは高次元へ一般化できる。 ピタゴラスの定理の証明 [ ] この定理には数百通りもの異なるが知られている。 ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。 相似による証明 [ ] 相似を用いた証明 C から斜辺 AB に下ろしたの足を H とする。 3 となる。 オイラーの公式を用いた証明 [ ] と指数関数はによってされているものとする。 (指数法則やの証明に本定理が使用されない定義であればよい。 の時点ですでに上において本定理の成立が明らかである。 よって 3 が得られる。 三角関数の不定積分を用いた証明 [ ] 下記のように関数を定める。 以下に証明を示す。 同一法を用いた証明 [ ] 2 が成り立っている。 なお、この証明から分かるように、• 余弦定理を用いた証明 [ ] 余弦定理を用いた証明 ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。 ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• 大矢, 真一『』東海大学出版会〈Tokai library〉、2001年8月。 大矢, 真一『ピタゴラスの定理』東海大学出版会〈東海科学選書〉、1975年。 『ピタゴラスの定理』東海書房、1952年。 亀井喜久男. 2008年3月3日閲覧。 国立国会図書館• 数理解析研究所講究録 京都大学数理解析研究所 1828: 105. (2013年11月28日時点の) - 道新ぶんぶんクラブ(北海道新聞社)• a の順序はの数列 による。 b, cを昇順に並べると、それぞれの数列 およびの数列 になる。 , pp. 31-34, 106-109• , pp. 19-22, 49-55• a の順序はの数列 による。 , pp. 93-95, 99-101 、, pp. 114-115, 180• , pp. 99-101, 147-149• , pp. 151, 174-177 、の数列 を参照。 ただしオンライン数列内のコメント内にある a の値が間違っているので注意が必要。 稲津 將. 2014年10月4日閲覧。 2014年10月4日閲覧。 Leff, Lawrence S. 2005. 7th ed. Barron's Educational Series. 296. 2014年10月8日閲覧。 2014年10月5日閲覧。 2014年11月26日閲覧。 Hamilton, James Douglas 1994. Time series analysis. Princeton University Press. 714. 2014年11月22日閲覧。 2014年11月20日閲覧。 2014年11月20日閲覧。 2014年11月22日閲覧。 2014年11月22日閲覧。 参考文献 [ ]• 『フェルマーの大定理が解けた! オイラーからワイルズの証明まで』〈 B-1074〉、1995年6月。 出光英則『ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理』 編、国土社〈数学ワンダーランド 7〉、1997年8月。 カプラン, ロバート、カプラン, エレン『数学の隠れたハーモニー ピタゴラスの定理のすべて』水谷淳 訳、ソフトバンククリエイティブ、2011年12月。 — 原題: Hidden harmonies. シルヴァーマン, ジョセフ・H『はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』鈴木治郎 訳、丸善出版、2014年5月、原著第3版。 — 原題: A friendly introduction to number theory 3rd ed. 『フェルマ 数と曲線の真理を求めて』現代数学社、2019年1月。 マオール, エリ『ピタゴラスの定理 4000年の歴史』伊理由美 訳、岩波書店、2008年2月。 — 原題: The Pythagorean theorem. 森下四郎『ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道』プレアデス出版、2010年8月、改訂版。 森下四郎『ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎』プレアデス出版、2010年12月。 関連項目 [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。

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歴史上の数学者たち: ピタゴラス

ピタゴラス の 定理 証明

是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。 ~順次作成中~ 正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。 合同な図形をうまく使った証明方法です。 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。 16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。 垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。 相似を使った最もシンプルな証明方法です。 合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。 他にもいろいろあるので、調べてみてください。

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ピタゴラスの定理とその証明 ピタゴラスの定理とその証明 中学3年で学習するピタゴラスの定理(三平方の定理)は、その後の数学の学習で繰り 返し用いられる重要な定理である。 ピタゴラスの定理(三平方の定理) 左図のような直角三角形ABCにおいて、 a 2+b 2=c 2 が成り立つ。 逆に、上式が成り立つような3辺 a,b,c をもつ三 角形は直角三角形である。 ピタゴラスの定理の覚え方としては、 斜辺の平方は他の2辺の平方の和 が最も優れているだろう。 昨今の生徒の意識として、結果さえ覚えればOKで、その成り立ち等に関心を払わない 場合が多い。 このピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明は、百以上知られている。 その全てを紹 介することは困難であるが、定理が成り立つことを納得する一つの方法として、その証明 のいくつかに触れることは今後の学習において有効と考える。 当HPがいつもお世話になっている未菜実さんからの情報によると、 というHPサイトに、たくさんのピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明がまとめられてい るという。 これは、3類生さんから質問があった、「よくこの証明方法は100種類以上ある と言われますが本当にそんなにあるのでしょうか?私は今までそんなにたくさん載せた本 やHPなどは見たことがないのですが・・・。 」(平成17年12月7日付け)を受けてのもので ある。 情報を頂いて、未菜実さんに感謝いたします。 このページでは、興味ある証明を徒然なるままに鑑賞していきたいと思う。 証明1 等積変形と三角形の合同により、下図の同じ色の部分の面積は等しい。 (この証明方法は、ユークリッドによるものと言われている。 ) 証明2 図形を組み替えることにより、下図の同じ色の部分の面積は等しい。 (この証明方法は、ピタゴラスによるものと言われている。 ) 証明3 内接円の半径を巧妙に利用する証明。 証明4 合同な図形を巧妙に利用する証明。 (この証明方法は、レオナルド・ダ・ビンチによるものと言われている。 ) 左図において、四角形EFCA、FDBC、 ABPS、PQRSの面積は全て等しい。 このことから、五角形FDBAEと凹七角 形ACBPQRSの面積は等しい。 よって、正方形DBAEの面積は、 2つの正方形 BPQC と ACRS の 面積の和に等しい。 証明5 台形の面積を利用する証明。 (この証明方法は、ガルフィールド(米第20代大統領)によるものと言われている。 証明6 図形の組み替えによる証明。 (この証明方法は、バスカラ(インド)によるものと言われている。 ) 左図のように、頂点C、Eより、直交 する2つの線分を引き、辺との交点を D、Fとする。 このとき、 CD=EF=c であり、 CF=B である。 切り分けられた図形をそれぞれ組み 替えると、斜辺の長さを一辺とする正 方形が埋め尽くされる。 この図形の切り分けによる証明は、 他にもたくさん知られている。 平成17年7月23日(土)、特番 「世界一受けたい授業」(日本テレビ系) での秋山 仁 先生による「ピタゴラスの 定理」の証明もその一つだ。 秋山先生は、何とわずか 7 秒で、数式を使わずに、ピタゴラスの定理を証明された。 左の図形を回転させていくと、色分けされた図形が「ストン、ストン、・・・」と右図のように 入っていく様になっていた。 上図では、いろいろな図形が絡んでいて分かりにくい印象があるが、最近、秋山 仁先生 がNHK高校講座「数学基礎」で非常に分かりやすく説明されていた。 次の図が基本になるのだという。 上図の図形に対して、下図のように正方形の頂点を結んで新しい正方形を作図すると、 証明6の本質が見えてくる。 (秋山先生に、謝謝!) 証明7 相似比の利用による証明。 (この証明方法は、アインシュタインによるものと言われている。 (コメント) 非常にシンプルな証明ですね! 上記の証明で、比例式から、 b 2=ay 、 c 2=ax なので、 b 2+c 2=a(x+y)=a 2 とした方がよりシンプルかもしれない。 証明8 正方形の分割による証明。 じっと睨めっこ すると、3 2+4 2=5 2 が成り立つことが了解されるだろう。 このことを一般化した証明が考え られる。 (コメント) これは、証明6を簡略化したものでもある。 (追記) 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからピタゴラスの定理の証明を頂 いた。 (平成27年6月6日付け) ピタゴラスの定理には何百という証明方法があるという。 (でも知らない。 )よくある4つの直 角三角形を組み合わせて、面積の関係から関係式を導き出す方法で理解していたんですが、 こんな証明方法を近頃目にしたのが新鮮だったのでアップしてみます。

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